РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1786 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: III

Методы геометрии: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: 2\.2\. Прямоугольный треугольник

Треугольники

АС  — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ABC и ADC. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите квадрат длины отрезка BD, если $AB=9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $BC=9 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ AD  =  DC.

Решение. Проведем в треугольнике ABC высоту BH. Найдем:

$BH= дробь: числитель: AB умножить на BC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 9 корень из 3 умножить на 9 корень из 5 , знаменатель: 9 корень из 8 конец дроби = дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби .$

Значит,

$AH в квадрате = AB в квадрате минус BH в квадрате =81 левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 81 умножить на 9, знаменатель: 8 конец дроби$

$AD= дробь: числитель: AC, знаменатель: корень из 2 конец дроби =9 умножить на 2=18.$

Тогда по теореме косинусов

$HD в квадрате =AH в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AH умножить на AD умножить на косинус 45 градусов =$
$= дробь: числитель: 81 умножить на 9, знаменатель: 8 конец дроби плюс 81 умножить на 4 минус 2 умножить на дробь: числитель: 9 умножить на 3, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби умножить на 18 умножить на дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби =81 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 81 умножить на 17, знаменатель: 8 конец дроби .$ $HD в квадрате =AH в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AH умножить на AD умножить на косинус 45 градусов =$
$= дробь: числитель: 81 умножить на 9, знаменатель: 8 конец дроби плюс 81 умножить на 4 минус 2 умножить на дробь: числитель: 9 умножить на 3, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби умножить на 18 умножить на дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби =$
$=81 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 81 умножить на 17, знаменатель: 8 конец дроби .$

Далее, по теореме Пифагора:

$BD в квадрате =BH в квадрате плюс HD в квадрате = дробь: числитель: 81 умножить на 15, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 81 умножить на 17, знаменатель: 8 конец дроби =81 умножить на 4=324.$

Ответ: 324.

Ответ: 324

1786

324

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: III

Методы геометрии: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: 2\.2\. Прямоугольный треугольник

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1786	324